Calcul stochastique
Voie Finance et Actuariat
- Année
- 3e année
- Semestre
- Semestre 5
- Unité d’enseignement
- Fondamentaux finance/assurance
- Volume horaire
- 20 h
- Crédits
- 2
Les fiches sont renseignées à partir des syllabus RESA/ENEAM et peuvent être actualisées par l’équipe pédagogique. Les modalités d’évaluation indiquées ne remplacent pas les consignes du cours.
Objectif du cours
Ce cours vise à fournir une présentation de la théorie des processus stochastiques et du calcul d’Itô, et à montrer comment ces notions et outils entrent dans des problématiques d’évaluation et de gestion des risques, auxquels les praticiens de la finance sont constamment confrontés.
L’objectif de ce cours est de présenter la théorie des processus stochastiques et le calcul d’Itô et leur application dans le domaine de la finance.
Plan du cours
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Chapitre 1 : Introduction et Rappels
- Variables et Vecteurs aléatoires
- Vecteurs aléatoires gaussiens
- Processus stochastiques ou aléatoires
- Espérance conditionnelle
- Rappel sur les marchés et produits financiers
- Théorie des martingales (Filtration, Temps d’arrêt, Martingale,…)
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Chapitre 2 : Mouvement brownien
- Généralité sur le mouvement brownien
- Propriétés du mouvement brownien
- Exemples de mouvements browniens
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Chapitre 3 : Intégrale stochastique
- Variation infinitésimale d’un processus stochastique
- Intégrale de Wiener
- Construction de l’intégrale stochastique
- Intégrale stochastique par rapport à une martingale
- La formule d’Itô
- Processus d’Itô
- Changement de probabilité : Théorème de Girsanov
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Chapitre 4 : Equation Différentielle Stochastique
- Motivation et définitions générales
- La propriété de Markov forte des solutions d’équations différentielles stochastiques
- Théorème de comparaison
- Analyse et simulation numériques des EDS
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Chapitre 5 : Modèle de Black & Scholes pour l’évaluation d’une option
- Hypothèse du modèle
- Formule du modèle Black-Scholes
- Approches EDSr pour le calcul du prix de l’option
- Estimation du modèle
Évaluation
1 examen écrit
Bibliographie
- CONT R. & TANKOV P., Financial Modeling with Jumps Processes, Chapman and Hall.
- EL KAROUI, N. & GOBET E., Les outils stochastiques des marchés financiers. Editions Ecole Polytechnique.
- KARATZAS, I. & SHREVE S.E. Brownian motion and Stochastic Calculus, Springer.
- KARATZAS, I. & SHREVE S.E. Methods of Mathematical Finance, Springer.
- LAMBERTON, D. & LAPEYRE, B. Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance (3e éd.), Ellipses.
- OKSENDAL, B. Stochastic Differential Equations, Springer.
- REVUZ D. & YOR M. Continuous Martingales and Brownian Motion, Springer.
- Hui Hsiung Kuo (2006) : Introduction to Stochastic Integration, Springer
- Huyên Pham (2007) : Optimisation et contrôle stochastique appliqué à la finance.
- Karatzas I. & Shreve S. (2000) : Brownian motion and stochastic calculus.
- Lamberton, D. and Lapeyre, B. (1991) : Introduction au calcul stochastique applique à la finance.
- Roger P. (2004) : Probabilités, statistique et processus stochastiques, Pearson, Education.
- Rew D. & Yor M. (1999) : Continuous martingales and brownian motion.