Théorie des probabilités
Tronc commun
- Année
- 1re année
- Semestre
- Semestre 2
- Unité d’enseignement
- Mathématiques 3
- Volume horaire
- 45 h
- Crédits
- 3
Les fiches sont renseignées à partir des syllabus RESA/ENEAM et peuvent être actualisées par l’équipe pédagogique. Les modalités d’évaluation indiquées ne remplacent pas les consignes du cours.
Objectif du cours
L’objectif de ce cours est de présenter le cadre général de la théorie des probabilités. Le cours se situe dans le prolongement du cours de théorie de la mesure. Il permettra de retrouver les concepts probabilistes usuels (variables aléatoires, lois de probabilité), et abordera les outils fondamentaux (convergences stochastiques) à la base des théorèmes asymptotiques largement utilisés dans les applications économiques.
Plan du cours
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Chapitre 1 : Variables aléatoires réelles
8 h- Loi d’une variable aléatoire réelle, densité par rapport à la mesure de Lebesgue
- Densité d’une variable aléatoire discrète par rapport à la mesure de comptage
- Moments d’une variable aléatoire réelle et propriétés
- Inégalités de Bienaymé-Tchebychev et de Jensen
- La loi Gaussienne
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Chapitre 2 : Convergences
10 h- Lois faibles des grands nombres
- Lois fortes des grands nombres
- Lemme de Borel-Cantelli
- Critère de convergence presque sure
- Théorème de Kolmogorov
- Théorème Central Limite
- Suites de variables aléatoires et les différents modes de convergence
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Chapitre 3 : Vecteurs aléatoires
10 h- Moments des vecteurs aléatoires
- Matrice de covariance
- Vecteurs aléatoires gaussiens
- Calcul de lois de vecteurs, support des lois gaussiennes
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Chapitre 4 : Conditionnement et espérance conditionnelle
10 h- Probabilité conditionnelle par rapport à une variable aléatoire réelle
- Espérance conditionnelle par rapport à une tribu
- Espérance conditionnelle et projection orthogonale de L2
- Calcul sur les densités conditionnelles
- Loi conjointe, courbe de régression
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Chapitre 5 : Fonctions caractéristiques
7 h- Propriétés des fonctions caractéristiques
- Lien avec les transformées de Fourier
- Détermination de la fonction de densité
Évaluation
2 contrôles écrits
Bibliographie
- Billingsley P. (1995), Probability and measure, 2nd Edition, John Wiley & sons.
- Cottrel M., C. Duhamel, V.Genon-Catalot, T. Meyre (1999), Exercices de probabilités, Cassini.
- Khoan Vo Khac (1998), Mesure, intégration, convolution et analyse de Fourier, Ellipse.
- Legait-Maille S. et Tassi P.(1990), Théorie des probabilités, Technip.
- Monfort A. (1996), Cours de Probabilités, 2 édition, Economica.