Mesure et intégration
Tronc commun
- Année
- 1re année
- Semestre
- Semestre 2
- Unité d’enseignement
- Mathématiques 3
- Volume horaire
- 30 h
- Crédits
- 2
Les fiches sont renseignées à partir des syllabus RESA/ENEAM et peuvent être actualisées par l’équipe pédagogique. Les modalités d’évaluation indiquées ne remplacent pas les consignes du cours.
Objectif du cours
Ce cours présente l’intégrale de Lebesgue, qui constitue une généralisation de l’intégrale de Riemann, nécessaire au cours de probabilités.
Plan du cours
-
Chapitre 1 : Mesure
10 h- Algèbres, σ-algèbres, classes monotones,
- fonctions mesurables,
- mesure
- Théorème du prolongement d’une mesure
- Produit de probabilités
- Mesures de Lebesgue-Stieljes et fonctions de répartition
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Chapitre 2 : Intégration
12 h- Fonctions intégrables
- Intégration par rapport à une mesure
- Mesure et convergence
- 1 Suites de fonctions mesurables
- 2 Fonctions simples, fonctions intégrables
- 3 Théorème de convergence monotone de Beppo-Levi
- 4 Type de convergence de fonction
- Théorème de convergence dominée
- 1 Lemme de Fatou
- 2 Théorème de Lebesgue de convergence dominée
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Chapitre 3 : Compléments
8 h- Intégrales définies et décomposition de Lebesgue
- Théorème de Radon-Nikodym
- Théorème de Fubini
- Espace Lp
- Transformée de Fourier
Évaluation
1 contrôle écrit
Bibliographie
- Ash R.B. (1972), Real Analysis and probability, Academic Press.
- Billingsley P. (1986), Probability and measure, John Wiley & sons.
- Monfort A. (1996), Cours de probabilité, Economica.
- Revuz D. (1994), Mesure et intégration, Hermann, Collection méthodes.