Topologie
Tronc commun
- Année
- 1re année
- Semestre
- Semestre 1
- Unité d’enseignement
- Mathématiques 2
- Volume horaire
- 40 h
- Crédits
- 4
Les fiches sont renseignées à partir des syllabus RESA/ENEAM et peuvent être actualisées par l’équipe pédagogique. Les modalités d’évaluation indiquées ne remplacent pas les consignes du cours.
Objectif du cours
Ce cours présente les différentes notions topologiques (espaces métriques, espaces vectoriels normés, espaces de HILBERT) nécessaires pour les cours d’optimisation et de probabilités.
Plan du cours
-
Chapitre 1 : Espaces topologiques, espaces métriques
8 h- Topologie, Topologie produit
- Continuité
- Espaces métriques complets
- Prolongement par continuité
- Espaces compacts
- Espaces connexes
-
Chapitre 2 : Espaces vectoriels normés
8 h- Normes, topologie des espaces vectoriels normés
- Espaces de BANACH
- Applications linéaires et multilinéaires, dual topologique
- Cas de la dimension finie
-
Chapitre 3 : Espaces fonctionnels
8 h- Compacicité des espaces métriques
- Continuité et compacticité
- Théorème de STONE-WEIERSTRASS
- Théorème de TYCHONOFF
-
Chapitre 4 : Espaces de HILBERT
8 h- Projecteur de meilleure approximation
- Projecteurs coniques et linéaires
- La dualité dans les espaces de HILBERT et l'adjoint d'un opérateur continu
-
Chapitre 5 : Théorèmes de point-fixes
8 h- Théorème du point fixe de BROUWER
- Théorème du point fixe de KAKUTANI
- Inégalité du min-max de KY FAN
Évaluation
2 contrôles écrits
Bibliographie
- Berge C. (1966), Espaces topologiques : fonctions multivoques, Dunod.
- Dixmier J. (1973) Topologie Générale, PUF.
- Faisant A. (1973) TP et Td de topologie générale, Hermann.
- Schwartz L. (1991), Analyse I : théories des ensembles et topologie, Hermann.
- Wagschal C. (1995), Topologie et analyse fonctionnelle, Hermann, Collection Méthodes.